frac{dy}{dx} = frac{y^2}{xy - x^2} का हल ज्ञा | vedclass

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Question

(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(y/x)^2}{(y/

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$e^{y/x} = ky$

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(B) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ है।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(y/x)^2}{(y/x) - 1}$ प्राप्त होता है।माना $v = y/x$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1}$।$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$।चरों को पृथक करने पर: $\frac{v - 1}{v} dv = \frac{dx}{x}$।$(1 - \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{v}) dv = \int \frac{dx}{x}$।$v - \ln|v| = \ln|x| + C$।$v = \ln|x| + \ln|v| + C = \ln|xv| + C = \ln|y| + C$।चूंकि $v = y/x$,इसलिए $y/x = \ln|y| + C$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{y/x} = e^{\ln|y| + C} = e^C \cdot y$।माना $e^C = k$,तब $e^{y/x} = ky$ प्राप्त होता है।

$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$ का हल ज्ञात कीजिए।

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