(x+y)^{2} frac{dy}{dx} = a^{2} (जहाँ a एक स्थ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.माना $v = x+y$. तब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, जिस

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$\frac{x+y}{a} = 	an \frac{y+C}{a}$, जहाँ $C$ एक स्वैच्छिक स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.माना $v = x+y$. तब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $v^{2} (\frac{dv}{dx} - 1) = a^{2}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $v^{2} \frac{dv}{dx} = v^{2} + a^{2}$, इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} + a^{2}}{v^{2}}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = \int dx$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int (1 - \frac{a^{2}}{v^{2} + a^{2}}) dv = x + C'$.समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $v - a 	an^{-1}(\frac{v}{a}) = x + C'$.$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - a 	an^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$.सरल करने पर: $y - a 	an^{-1}(\frac{x+y}{a}) = C'$.व्यवस्थित करने पर: $\frac{y-C'}{a} = 	an^{-1}(\frac{x+y}{a})$.दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $	an(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$.$-C' = C$ मानने पर, हमें $\frac{x+y}{a} = 	an(\frac{y+C}{a})$ प्राप्त होता है।

$(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$ (जहाँ $a$ एक स्थिरांक है) का हल है:

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