$(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

एक फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - y = \cos x - \sin x$ को संतुष्ट करता है,जहाँ प्रारंभिक शर्त यह है कि जब $x \rightarrow \infty$ होता है तो $y$ परिबद्ध (bounded) रहता है। $y = f(x)$,$y = \cos x$ और $y$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ के व्यापक हल द्वारा निरूपित प्रत्येक वक्र,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ के व्यापक हल द्वारा निरूपित प्रत्येक वक्र को $\theta$ कोण पर काटता है। तो,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

माना $y$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है। तब, $y$ संतुष्ट करता है:

यदि $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \frac{x}{\ln |c x|}$ (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ का व्यापक हल है,तो फलन $\phi \left( \frac{x}{y} \right)$ क्या है?