अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y}{y^2 - x} क | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} = y - \frac{x}{y}$ प्राप्त होता

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$y^3 - 3xy = c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ है।व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} = y - \frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} + \frac{1}{y}x = y$।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = y$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln|y|} = y$ है।व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ है।मान रखने पर,$x \cdot y = \int y \cdot y dy + c$।$xy = \int y^2 dy + c$।$xy = \frac{y^3}{3} + c$।$3$ से गुणा करने पर,$3xy = y^3 + 3c$,जिसे $y^3 - 3xy = c'$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $c' = -3c$)।अतः,सही विकल्प $B$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ का हल है

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यदि $x=f(y)$ अवकल समीकरण $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$,$y \in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ का हल है और $f(0)=1$ है,तो $f(\frac{1}{\sqrt{3}})$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ का व्यापक हल है

समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}e^x$ का व्यापक हल है

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