વિકલ સમીકરણ (3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે.આને $\frac{dy}{dx} = - \frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે

Vedclass · Accepted Answer

$x^2(2xy + y^2) = c^2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે.આને $\frac{dy}{dx} = - \frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = - \frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = - \frac{v^2 + 3v}{v + 1}$.$x\frac{dv}{dx} = - \frac{v^2 + 3v}{v + 1} - v = - \frac{v^2 + 3v + v^2 + v}{v + 1} = - \frac{2v^2 + 4v}{v + 1} = - \frac{2v(v + 2)}{v + 1}$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = - \frac{2}{x} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \implies v + 1 = A(v + 2) + Bv$.$v = 0$ માટે,$A = 1/2$. $v = -2$ માટે,$B = 1/2$.તેથી,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = - \int \frac{2}{x} dx$.$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = - 2 \ln|x| + C$.$\ln|v(v + 2)| = - 4 \ln|x| + C' \implies \ln|v(v + 2)x^4| = C'$.$v(v + 2)x^4 = c^2$. $v = y/x$ મૂકતા: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2$.$x^2(y^2 + 2xy) = c^2$.

વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module