વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x^2 + 3x + 2$ નો ઉકેલ શોધો.

$(1,2)$ માંથી પસાર થતા અને જેનો સ્પર્શક કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ $X$-અક્ષ સાથે $\tan ^{-1}(2 x+3 y)$ ખૂણો બનાવે છે તે વક્રનું સમીકરણ ......... છે.

ધારો કે એક વક્ર $y = y(x)$ બિંદુ $(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે અને આ વક્રની નીચે,$x$-અક્ષની ઉપર અને $3$ અને $x (>3)$ વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ છે. જો આ વક્ર પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $(\alpha, 6\sqrt{10})$ માંથી પણ પસાર થતો હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $........$ છે.

એક વિધેય $y=f(x)$ એ $f(x) \sin 2x + \sin x - (1 + \cos^2 x) f'(x) = 0$ શરત $f(0) = 0$ સાથે સંતોષે છે. તો $f(\frac{\pi}{2})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$,$x > 0$ અને $y(e^{-1}) = 0$ નો ઉકેલ છે. તો,$y(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.