अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{3x^2}{1 + x^3 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समी

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$y(1 + x^3) = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + c$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{3x^2}{1 + x^3}$ और $Q = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^2}{1 + x^3} dx} = e^{\ln(1 + x^3)} = 1 + x^3$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर:$y(1 + x^3) = \int \frac{\sin^2 x}{1 + x^3} \cdot (1 + x^3) dx + c$$y(1 + x^3) = \int \sin^2 x dx + c$सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:$y(1 + x^3) = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx + c$$y(1 + x^3) = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx + c$$y(1 + x^3) = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2x}{2}) + c$$y(1 + x^3) = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ का हल है

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