समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x}{2y - x} का हल ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y - x}$ है।चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $\fr

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$(x - y)(x + 2y)^2 = c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y - x}$ है।चूंकि यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,हम $y = vx$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x}{2vx - x} = \frac{1}{2v - 1}$।$\frac{dv}{dx}$ के लिए सरल करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2v - 1} - v = \frac{1 - 2v^2 + v}{2v - 1} = -\frac{(2v + 1)(v - 1)}{2v - 1}$।चरों को अलग करने पर: $\frac{2v - 1}{(2v + 1)(v - 1)} dv = -\frac{dx}{x}$।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{4/3}{2v + 1} + \frac{1/3}{v - 1} dv = -\frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{2}{3}\ln|2v + 1| + \frac{1}{3}\ln|v - 1| = -\ln|x| + C$।$3$ से गुणा करने पर: $2\ln|2v + 1| + \ln|v - 1| = -3\ln|x| + C'$।$\ln|(2v + 1)^2(v - 1)| = \ln|x^{-3}| + C'$।$(2v + 1)^2(v - 1) = \frac{c}{x^3}$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $(\frac{2y + x}{x})^2(\frac{y - x}{x}) = \frac{c}{x^3}$।$(2y + x)^2(y - x) = c$। अतः $(x - y)(x + 2y)^2 = c$ प्राप्त होता है।

समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y - x}$ का हल है

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