વર્તુળ $x^2+y^2-2x-3=0$ ને સ્પર્શતી અને વર્તુળ $x^2+y^2-4y-6=0$ ને અભિલંબ હોય તેવી સીધી રેખા કઈ છે?

જો $y = m_{1}x + c_{1}$ અને $y = m_{2}x + c_{2}$ જ્યાં $m_{1} \neq m_{2}$ એ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = 2$ અને પરવલય $y^{2} = x$ ના બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય,તો $8|m_{1}m_{2}|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

વર્તુળ $x^2+y^2-4x-8y+7=0$ પરના બિંદુ $A(-1, 2)$ આગળનો સ્પર્શક,વર્તુળ $x^2+y^2+4x+6y=0$ ને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. તો $AB$ નું ત્રિ-ભાગ બિંદુ કયું છે?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ આગળનો સ્પર્શક અને અભિલંબ $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં મળે છે. ધારો કે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળ $C$ દોરવામાં આવે છે અને રેખા $x = 2 \sqrt{5}$ એ વર્તુળ $C$ ને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો વર્તુળ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માં છેદતા હોય,તો $\alpha^2 - \beta^2$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $2x - y + 1 = 0$ એ વર્તુળને બિંદુ $(2, 5)$ આગળ સ્પર્શે છે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર $x - 2y = 4$ પર આવેલું છે. તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ધારો કે $a$ અને $b$ બે શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. સમીકરણ $(ax^2 + by^2 + c)(x^2 - 5xy + 6y^2) = 0$ શું દર્શાવે છે?