20 पदों तक योग 1+3+11+25+45+71+ldots किसके बर | vedclass

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Question

(A) माना दी गई श्रेणी $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ है।क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ है,जो $6$ के सार्व अंतर के सा

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$7240$

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(A) माना दी गई श्रेणी $S_{20} = 1+3+11+25+45+71+\ldots+T_{20}$ है।क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 8, 14, 20, 26, \ldots$ है,जो $6$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाता है।चूंकि प्रथम-क्रम का अंतर $A$.$P$. में है,इसलिए सामान्य पद $T_n$ एक द्विघात व्यंजक $T_n = an^2 + bn + c$ के रूप में है।प्रथम तीन पदों का उपयोग करके:$T_1 = a + b + c = 1$$T_2 = 4a + 2b + c = 3$$T_3 = 9a + 3b + c = 11$समीकरणों को घटाने पर:$(T_2 - T_1) \implies 3a + b = 2$$(T_3 - T_2) \implies 5a + b = 8$इन परिणामों को घटाने पर: $2a = 6 \implies a = 3$ प्राप्त होता है।$3a+b=2$ में $a=3$ रखने पर,$9+b=2 \implies b = -7$ प्राप्त होता है।$a+b+c=1$ में $a=3, b=-7$ रखने पर,$3-7+c=1 \implies c = 5$ प्राप्त होता है।अतः,सामान्य पद $T_n = 3n^2 - 7n + 5$ है।$20$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{20} (3n^2 - 7n + 5) = 3 \sum_{n=1}^{20} n^2 - 7 \sum_{n=1}^{20} n + \sum_{n=1}^{20} 5$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$= 3 \left( \frac{20(21)(41)}{6} \right) - 7 \left( \frac{20(21)}{2} \right) + 5(20)$$= 3(2870) - 7(210) + 100$$= 8610 - 1470 + 100 = 7240$.

$20$ पदों तक योग $1+3+11+25+45+71+\ldots$ किसके बराबर है?

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