100

Question

(D) हमें उन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ का योग ज्ञात करना है जहाँ $100  1$ हो।चूंकि $91 = 7 	imes 13$,इसलिए $H.C.F. (91

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$3121$

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(D) हमें उन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ का योग ज्ञात करना है जहाँ $100  1$ हो।चूंकि $91 = 7 	imes 13$,इसलिए $H.C.F. (91, n) > 1$ का अर्थ है कि $n$ को $7$ या $13$ से विभाज्य होना चाहिए।मान लीजिए $S_A$,$100$ और $200$ के बीच $7$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।ये संख्याएँ $105, 112, \dots, 196$ हैं।यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 105$,$l = 196$,और $d = 7$ है।पदों की संख्या $n_A = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$ है।$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 	imes 301 = 2107$।मान लीजिए $S_B$,$100$ और $200$ के बीच $13$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।ये संख्याएँ $104, 117, \dots, 195$ हैं।यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 104$,$l = 195$,और $d = 13$ है।पदों की संख्या $n_B = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$ है।$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 	imes 299 = 1196$।मान लीजिए $S_C$,$100$ और $200$ के बीच $7$ और $13$ दोनों से विभाज्य संख्याओं का योग है (अर्थात $91$ से विभाज्य)।ऐसी एकमात्र संख्या $182$ है।इसलिए,$S_C = 182$।समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अभीष्ट योग $S = S_A + S_B - S_C$ है।$S = 2107 + 1196 - 182 = 3121$।

$100 < n < 200$ के बीच उन सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $H.C.F. (91, n) > 1$ है।

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