$2a$ અને $2b$ મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો ધરાવતા ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કોના જેટલો થાય છે?

$x^2+3y^2=12$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કેટલી છે?

રેખા $x = 8$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નિયામિકા છે અને તેનું અનુરૂપ નાભિ $(2, 0)$ છે. જો પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક બિંદુ $(0, 4\sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે,તો $(3PQ)^2$ ની કિંમત $........$ છે.

વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ ના કેન્દ્ર પર છે. ધારો કે $C$ એ $E$ ના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે જેથી વર્તુળ $C$ અને ઉપવલય $E$ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ આ ચાર બિંદુઓમાંથી એક છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય અને $E$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય,તો $E$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ એ $F_1$ અને $F_2$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય છે. ધારો કે $AO$ એ તેની અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,જ્યાં $O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે. રેખાઓ $AF_1$ અને $AF_2$ ને લંબાવતા,તે ઉપવલયને અનુક્રમે $B$ અને $C$ બિંદુઓ પર ફરીથી છેદે છે. ધારો કે $\triangle ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તો,ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

બિંદુ $(3, -2)$ આગળ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.