श्रेणी 1 cdot 3^2 + 2 cdot 5^2 + 3 cdot 7^2 + | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ द्वारा दिया जाता है।इसका विस्तार करने पर, $T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।प्रथ

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$188090$

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(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ द्वारा दिया जाता है।इसका विस्तार करने पर, $T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।प्रथम $20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4 \sum_{n=1}^{20} n^3 + 4 \sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:$\sum_{n=1}^{N} n^3 = \left[ \frac{N(N+1)}{2} \right]^2$, $\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$, और $\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$.$N = 20$ के लिए:$4 \sum_{n=1}^{20} n^3 = 4 \left[ \frac{20 \cdot 21}{2} \right]^2 = 4 \cdot (210)^2 = 4 \cdot 44100 = 176400$.$4 \sum_{n=1}^{20} n^2 = 4 \cdot \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 4 \cdot 2870 = 11480$.$\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.इन मानों को जोड़ने पर: $S_{20} = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

श्रेणी $1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 7^2 + \dots$ का $20$ पदों तक योग क्या है?

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$\log_{\sqrt{3}} x + \log_{\sqrt[4]{3}} x + \log_{\sqrt[6]{3}} x + \dots + \log_{\sqrt[16]{3}} x = 36$ का हल है

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