શ્રેણી $2 \times 1 \times {}^{20}C_4 - 3 \times 2 \times {}^{20}C_5 + 4 \times 3 \times {}^{20}C_6 - 5 \times 4 \times {}^{20}C_7 + \dots + 18 \times 17 \times {}^{20}C_{20}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

જો ગુણાકાર $(1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n})$ માં $x$ ના તમામ યુગ્મ ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $61$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જ્યારે બહુપદી $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{22}$ ને $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{11}$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ શોધો.

$1$ થી $10$ નંબર ધરાવતી દસ ટ્રકો ખાંડના પેકેટ લઈ જઈ રહી છે. દરેક પેકેટનું વજન કાં તો $999 \ g$ છે અથવા $1000 \ g$ છે અને દરેક ટ્રક સમાન વજનના પેકેટ લઈ જાય છે. પ્રથમ ટ્રકમાંથી $1$ પેકેટ,બીજી ટ્રકમાંથી $2$ પેકેટ,ત્રીજી ટ્રકમાંથી $4$ પેકેટ,અને આ રીતે દસમી ટ્રકમાંથી $2^9$ પેકેટનું કુલ વજન $1022870 \ g$ છે. કઈ ટ્રકોમાં હલકા પેકેટ છે?

ધારો કે $(5 + 2\sqrt{6})^n = p + f$,જ્યાં $n \in N$,$p \in N$,અને $0 < f < 1$ છે. તો $f^2 - f + pf - p$ ની કિંમત શું છે?

જો $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ એ $2^{n} \cdot m$ બરાબર હોય,જ્યાં $m$ એકી સંખ્યા છે,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો.