श्रेणी frac{1^2}{1 cdot 2!} + frac{1^2 + 2^2} | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n(n+1)!}$ है।सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$T_n = \fr

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$\frac{3e - 1}{6}$

Vedclass · Answer

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n(n+1)!}$ है।सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$T_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n(n+1)!} = \frac{2n+1}{6(n!)} = \frac{1}{6} \left( \frac{2}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} \right)$।योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{6} \left( 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)$।चूंकि $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} = e$ और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e - 1$,$S = \frac{1}{6} [2(e) + (e - 1)] = \frac{3e - 1}{6}$।

श्रेणी $\frac{1^2}{1 \cdot 2!} + \frac{1^2 + 2^2}{2 \cdot 3!} + \frac{1^2 + 2^2 + 3^2}{3 \cdot 4!} + \dots + \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n(n + 1)!} + \dots \infty$ का योग किसके बराबर है?

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मान लीजिए $S$ अनंत श्रेणी $1+\frac{8}{2!}+\frac{21}{3!}+\frac{40}{4!}+\frac{65}{5!}+\ldots$ के योग को दर्शाता है। तो

$1 + \frac{2}{3!} + \frac{3}{5!} + \frac{4}{7!} + \dots \infty = \,$

$1 + \frac{2^2}{1!} + \frac{3^2}{2!} + \frac{4^2}{3!} + \dots \infty = $ ($e$ में)

$(e^x - 1)^2$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक क्या होगा?

$\frac{1-2x}{e^x}$ में $x^n$ का गुणांक क्या है?

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