(e^x - 1)^2 के विस्तार में x^4 का गुणांक क्या | vedclass

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Question

(B) व्यंजक $(e^x - 1)^2 = e^{2x} - 2e^x + 1$ है। $e^t = 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \dots$ विस्तार का उपयोग

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$7/12$

Vedclass · Answer

(B) व्यंजक $(e^x - 1)^2 = e^{2x} - 2e^x + 1$ है। $e^t = 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^4}{4!} + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हुए: $e^{2x} = 1 + \frac{2x}{1!} + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots$ $-2e^x = -2 \left( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \right)$ अचर पद $1$ के साथ जोड़ने पर: $(e^{2x} - 2e^x + 1) = (1 - 2 + 1) + x(2 - 2) + x^2 \left( \frac{4}{2} - \frac{2}{2} \right) + x^3 \left( \frac{8}{6} - \frac{2}{6} \right) + x^4 \left( \frac{16}{24} - \frac{2}{24} \right) + \dots$ $x^4$ का गुणांक $\frac{16 - 2}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$ है।

$(e^x - 1)^2$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक क्या होगा?

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$1 + \frac{1 + x}{2!} + \frac{1 + x + x^2}{3!} + \frac{1 + x + x^2 + x^3}{4!} + \dots \infty = $

$1 + \frac{2^4}{2!} + \frac{3^4}{3!} + \frac{4^4}{4!} + \dots \infty = $

श्रेणी $\frac{1^2}{1 \cdot 2!} + \frac{1^2 + 2^2}{2 \cdot 3!} + \frac{1^2 + 2^2 + 3^2}{3 \cdot 4!} + \dots + \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n(n + 1)!} + \dots \infty$ का योग किसके बराबर है?

$\frac{2}{2!} + \frac{2+4}{3!} + \frac{2+4+6}{4!} + \dots$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1+\frac{1+2}{2 !}+\frac{1+2+2^2}{3 !}+\ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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