दो संख्याओं का योग $20$ है। यदि एक संख्या के वर्ग और दूसरी संख्या के घन का गुणनफल अधिकतम है, तो वे संख्याएँ हैं:

$6$ इकाई व्यास वाले गोले में अंतर्निहित बेलन का अधिकतम आयतन (घन इकाइयों में) क्या है?

मान लीजिए $f(x) = 2 \cos^{-1} x + 4 \cot^{-1} x - 3x^2 - 2x + 10$,जहाँ $x \in [-1, 1]$ है। यदि $[a, b]$ फलन का परिसर (range) है,तो $4a - b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(x)$ घात $3$ का एक वास्तविक बहुपद है जो $x = -3$ पर शून्य हो जाता है। मान लीजिए $P(x)$ का स्थानीय न्यूनतम $x = 1$ पर है,स्थानीय अधिकतम $x = -1$ पर है और $\int_{-1}^{1} P(x) dx = 18$ है,तो बहुपद $P(x)$ के सभी गुणांकों का योग ....... के बराबर है।

मान लीजिए कि $p$ के उन सभी मानों का समुच्चय,जिनके लिए $f(x) = (p^2 - 6p + 8)(\sin^2 2x - \cos^2 2x) + 2(2 - p)x + 7$ का कोई क्रांतिक बिंदु (critical point) नहीं है,अंतराल $(a, b)$ है। तो $16ab$ का मान .......... है।

सिद्ध कीजिए कि फलन $g(x) = \log x$ का कोई उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान नहीं है।