श्रेणी 1 + frac{2}{3} + frac{6}{3^2} + frac{1 | vedclass

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Question

(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ है। यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ अंश के पद $1

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$3$

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(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ है। यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ अंश के पद $1, 2, 6, 10, 14, \dots$ दूसरे पद से समांतर श्रेणी में हैं और हर $3$ की घात हैं। $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ $3$ से भाग देने पर: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots$ दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{6}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{10}{3^3} - \frac{6}{3^3}) + (\frac{14}{3^4} - \frac{10}{3^4}) + \dots$ $\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$ $\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + [\frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots]$ कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{4}{9}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है। योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{4/9}{1 - 1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{4}{9} 	imes \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$. अतः,$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1 = 2$. $S = 2 	imes \frac{3}{2} = 3$.

श्रेणी $1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ के अनंत पदों का योग क्या है?

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