निम्नलिखित श्रेणी frac{1}{1 times 2} + frac{1 | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{

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(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।अतः,प्रथम $N$ पदों का योग $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ight)$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $S_N = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})$ प्राप्त होता है।सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,और $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$ शेष रहता है।जब $N 	o \infty$ लेते हैं,तो $S = \lim_{N 	o \infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।

निम्नलिखित श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots$ का अनंत तक का योग क्या होगा?

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मान लीजिए $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ और $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,जहाँ $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ और $A$ का मान न्यूनतम है। तो:

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$(1^2-1+1)(1!) + (2^2-2+1)(2!) + \ldots + (n^2-n+1)(n!)$ का योग क्या है?

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