समीकरण x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0 के दो मूल 3 | vedclass

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Question

(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं।त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूलों के गुणों के अनुसार:$1$. मूलों का यो

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$6, 4, -1$

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(A) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $3\alpha, 2\alpha, \beta$ हैं।त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूलों के गुणों के अनुसार:$1$. मूलों का योग: $3\alpha + 2\alpha + \beta = -(-9)/1 = 9 \implies 5\alpha + \beta = 9 \implies \beta = 9 - 5\alpha$ $(i)$.$2$. दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(3\alpha)(2\alpha) + (2\alpha)(\beta) + (3\alpha)(\beta) = 14 \implies 6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14$ $(ii)$.$3$. मूलों का गुणनफल: $(3\alpha)(2\alpha)(\beta) = -24/1 = -24 \implies 6\alpha^2\beta = -24 \implies \alpha^2\beta = -4$ $(iii)$.समीकरण $(i)$ से $\beta = 9 - 5\alpha$ का मान $(ii)$ में रखने पर:$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$$6\alpha^2 + 45\alpha - 25\alpha^2 = 14$$-19\alpha^2 + 45\alpha - 14 = 0 \implies 19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$.इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$.अतः,$\alpha = 2$ या $\alpha = 7/19$.यदि $\alpha = 2$ है,तो $\beta = 9 - 5(2) = -1$। समीकरण $(iii)$ में जाँच करने पर: $(2)^2(-1) = -4$,जो सही है।अतः मूल $3(2), 2(2), -1$ अर्थात $6, 4, -1$ हैं।

समीकरण $x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0$ के दो मूल $3 : 2$ के अनुपात में हैं। मूल हैं:

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