$\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{3{k^2} + 3k + 1}}{{{{\left( {{k^2} + k} \right)}^3}}}} $ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો શ્રેણી $\frac{1}{1+1^4 \cdot 4} + \frac{2}{1+2^4 \cdot 4} + \frac{3}{1+3^4 \cdot 4} + \frac{4}{1+4^4 \cdot 4} + \dots$ ના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\text{gcd}(m,n) = 1$, તો $m+n$ ની કિંમત શોધો:

$\sum_{k=0}^{12} \frac{1}{\sin \left((k+1) \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{k \pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)} = $

જો $\frac{1}{2 \times 7} + \frac{1}{7 \times 12} + \frac{1}{12 \times 17} + \frac{1}{17 \times 22} + \dots$ $10$ પદો સુધી $= k$ હોય,તો $k =$

શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શું છે,જેનું $k$-મું પદ $k! \times k$ છે?

અનંત શ્રેણી $\cot ^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{19}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{39}{4}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{67}{4}\right)+\ldots \ldots$ નો સરવાળો :-