sum limits_{n=0}^{1947} frac{1}{2^n+sqrt{2^{1 | vedclass

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Question

(A) माना $S = \sum \limits_{n=0}^{1947} f(n)$ जहाँ $f(n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}}$ है।योग में पदों की संख्या $1947 - 0 + 1 = 1948$ है।पदों के

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$\frac{487}{\sqrt{2^{1945}}}$

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(A) माना $S = \sum \limits_{n=0}^{1947} f(n)$ जहाँ $f(n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}}$ है।योग में पदों की संख्या $1947 - 0 + 1 = 1948$ है।पदों के योग $f(n) + f(1947-n)$ पर विचार करें:$f(n) + f(1947-n) = \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{2^{1947-n} + \sqrt{2^{1947}}}$$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{1}{\frac{2^{1947}}{2^n} + \sqrt{2^{1947}}}$$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{2^{1947} + 2^n \sqrt{2^{1947}}}$$= \frac{1}{2^n + \sqrt{2^{1947}}} + \frac{2^n}{\sqrt{2^{1947}}(\sqrt{2^{1947}} + 2^n)}$$= \frac{\sqrt{2^{1947}} + 2^n}{\sqrt{2^{1947}}(2^n + \sqrt{2^{1947}})} = \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}}$चूंकि इसमें $1948$ पद हैं,हम उन्हें $1948/2 = 974$ जोड़ों में विभाजित कर सकते हैं।अतः,$S = 974 	imes \frac{1}{\sqrt{2^{1947}}} = \frac{974}{2^{1947/2}} = \frac{2 	imes 487}{2^{1947/2}} = \frac{487}{2^{1947/2 - 1}} = \frac{487}{2^{1945/2}} = \frac{487}{\sqrt{2^{1945}}}$इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

$\sum \limits_{n=0}^{1947} \frac{1}{2^n+\sqrt{2^{1947}}}$ का मान किसके बराबर है?

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यदि $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ है,तो $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = $

यदि $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,जहाँ $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $F(e) = $

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx = $

$\left|\frac{120}{\pi^3} \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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