$\int_0^1 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^2}\right) d x$ का मान क्या है?

यदि शब्द $LEADING$ के सभी सात अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से क्रमबद्ध किया जाए और इस प्रकार बने शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाए,तो $2017^{\text{th}}$ स्थान पर आने वाला शब्द है

केंद्र $\left(2, \frac{\pi}{2}\right)$ और त्रिज्या $3$ इकाई वाले वृत्त का ध्रुवीय समीकरण क्या है?

$x = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}} \right) \Rightarrow y$ किसके बराबर है?

काले कागज पर दो सफेद बिंदु $1\, mm$ की दूरी पर हैं। उन्हें $3\, mm$ के पुतली व्यास वाली आँख से देखा जाता है। वह अधिकतम दूरी (मीटर में) क्या है जिस पर इन बिंदुओं को आँख द्वारा विभेदित (resolve) किया जा सकता है? [प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $\lambda = 500\, nm$ लें]

एक खगोलीय दूरबीन के अभिदृश्यक (objective) और नेत्रिका (eyepiece) $1.5$ अपवर्तनांक वाले द्वि-उत्तल लेंस हैं। जब दूरबीन को अनंत पर समायोजित किया जाता है,तो दोनों लेंसों के बीच की दूरी $16 ~cm$ होती है। यदि लेंसों के बीच के स्थान को अब पानी (अपवर्तनांक $4/3$) से भर दिया जाए और दूरबीन को फिर से अनंत के लिए समायोजित किया जाए,तो लेंसों के बीच की वर्तमान दूरी क्या होगी ($~cm$ में)?