$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ और $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन अधिकतम होने के लिए $\alpha$ का मान है

$a$ के किस मान के लिए $\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a\hat{k}$ और $a\hat{i} + \hat{k}$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन न्यूनतम होगा?

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समीकरण $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ के मूल	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ फलन $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ के असातत्य के बिंदु,जहाँ $[y]$ का अर्थ $y$ से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे सदिशों $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण,जहाँ $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ को संतुष्ट करते हैं	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$

मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{c}$ इकाई सदिश हैं जो एक-दूसरे के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाते हैं। यदि $(\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})) \cdot(\bar{a} \times \bar{c})=5$ है,तो $\left[\begin{array}{lll}\bar{a} & \bar{b} & \bar{c}\end{array}\right]=$

यदि $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ और $\gamma = i + j + k$ है,तो $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\bar{a}=\lambda \bar{i}+3 \bar{j}+4 \bar{k}$, $\bar{b}=3 \bar{i}-\bar{j}+\lambda \bar{k}$ और $\bar{c}=\lambda \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ किसी पूर्णांक $\lambda$ के लिए तीन सदिश हैं। यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ को सह-आदि किनारों के रूप में लेने वाले समांतर षट्फलक का आयतन $61$ घन इकाई है, तो $\lambda$ के संभावित मानों की संख्या है