$\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $a$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\vec{a} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k})$, $\vec{b} = (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$, और $\vec{c} = (c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k})$ तीन शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है, तो $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ और $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$ है,तो $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot[(\hat{a} \times \hat{b}) \times(\hat{a}+2 \hat{b})]$ का मान है

$A(5, -1, 1)$, $B(7, -4, p)$, $C(1, -6, 10)$, और $D(-1, -3, 7)$ शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन $11 \text{ cubic units}$ है। $p$ का एक मान ज्ञात कीजिए।

सदिशों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}$ और $\vec{c} + \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $4$ है। तब सदिशों $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?

यदि $u, v$ और $w$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(u + v - w) \cdot [(u - v) \times (v - w)]$ का मान ज्ञात कीजिए।