यदि u, v और w तीन असमतलीय सदिश हैं,तो (u + v | vedclass

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Question

(B) हमें अदिश त्रिगुणित गुणनफल $(u + v - w) \cdot [(u - v) 	imes (v - w)]$ का मूल्यांकन करना है।सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(u - v)

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$u \cdot (v 	imes w)$

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(B) हमें अदिश त्रिगुणित गुणनफल $(u + v - w) \cdot [(u - v) 	imes (v - w)]$ का मूल्यांकन करना है।सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(u - v) 	imes (v - w) = u 	imes v - u 	imes w - v 	imes v + v 	imes w$.चूंकि $v 	imes v = 0$,यह $u 	imes v - u 	imes w + v 	imes w$ में सरल हो जाता है।अब,$(u + v - w)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:$(u + v - w) \cdot (u 	imes v - u 	imes w + v 	imes w) = u \cdot (u 	imes v) - u \cdot (u 	imes w) + u \cdot (v 	imes w) + v \cdot (u 	imes v) - v \cdot (u 	imes w) + v \cdot (v 	imes w) - w \cdot (u 	imes v) + w \cdot (u 	imes w) - w \cdot (v 	imes w)$.इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य होता है:$u \cdot (u 	imes v) = 0, u \cdot (u 	imes w) = 0, v \cdot (u 	imes v) = 0, v \cdot (v 	imes w) = 0, w \cdot (u 	imes w) = 0, w \cdot (v 	imes w) = 0$.इस प्रकार,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:$u \cdot (v 	imes w) - v \cdot (u 	imes w) - w \cdot (u 	imes v)$.अदिश त्रिगुणित गुणनफल के चक्रीय गुणधर्म का उपयोग करते हुए $[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ और $[v, u, w] = -[u, v, w]$:$= [u, v, w] - (-[u, v, w]) - [w, u, v] = [u, v, w] + [u, v, w] - [u, v, w] = [u, v, w] = u \cdot (v 	imes w)$.

यदि $u, v$ और $w$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(u + v - w) \cdot [(u - v) \times (v - w)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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