lambda के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए स | vedclass

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Question

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।अदिश त

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$2$

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(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \ 1 & -\lambda^2 & 1 \ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}ight| = 0$प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$मान लीजिए $x = \lambda^2$ है। तब समीकरण $x^3 - 3x - 2 = 0$ हो जाता है।निरीक्षण द्वारा,$x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$।$(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका और गुणनखंड करने पर $(x+1)(x+1)(x-2) = 0$ मिलता है।अतः,$(x+1)^2(x-2) = 0$।चूंकि $x = \lambda^2$,हमारे पास $(\lambda^2 + 1)^2(\lambda^2 - 2) = 0$ है।वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda^2 + 1$ हमेशा $\ge 1$ होता है,इसलिए $\lambda^2 + 1 
eq 0$।अतः,हमें $\lambda^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\lambda^2 = 2$ मिलता है।इसलिए,$\lambda = \pm \sqrt{2}$।इस प्रकार,$\lambda$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

$\lambda$ के कितने भिन्न वास्तविक मानों के लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - \lambda^2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\hat{i} + \hat{j} - \lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं?

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$(\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\} = $

यदि $\overline{a}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-3 \hat{k}$ और $\overline{c}=3 \hat{\imath}+\lambda \hat{\jmath}+5 \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ किस समीकरण का मूल है?

मान लीजिए $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है। यदि $p$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $[a b p]$ अधिकतम है, तो $p=$

यदि बिंदु $A(1,1,2), B(2,1, p), C(1,0,3)$ और $D(2,2,0)$ समतलीय हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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