જો સદિશો $\hat{\imath}-\hat{\jmath}-6 \hat{k}$,$\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$ અને $2 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}+m \hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $m$ ની કિંમત શોધો.

જો સમાંતરબાજુ ફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ છે તેનું ઘનફળ $12$ હોય,તો ચતુષ્ફલક (tetrahedron) કે જેની ધાર $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ અને $\bar{c}+\bar{a}$ છે તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $\vec{p}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{q}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે. જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ માટે,$15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} \times \vec{q})$ હોય,તો $\gamma$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો હોય અને તેમના માન અનુક્રમે $1, 2, 3$ હોય,તો $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધાન $1$: સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોય જો અને તો જ $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ થાય.
વિધાન $2$: સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ થાય,જ્યાં $\vec{u} \times \vec{v}$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે.

જો સદિશો $2i + j - k$,$-i + 2j + \lambda k$ અને $-5i + 2j - k$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત કેટલી થાય?