x 0 के लिए int frac{e^{tan ^{-1}(x)}}{1+x^2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2 + \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x

Vedclass · Accepted Answer

$e^{	an ^{-1}(x)}(	an ^{-1} x)^2+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2 + \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$,जहाँ $x > 0$ है। $	an ^{-1} x = 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = 	an 	heta$ और $\frac{1}{1+x^2} d x = d 	heta$ प्राप्त होता है। चूँकि $x > 0$,इसलिए $	heta \in (0, \pi/2)$ है। यहाँ $\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec ^{-1} \sqrt{1+	an^2 	heta} = \sec ^{-1} \sec 	heta = 	heta$ है। साथ ही,$\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = \cos ^{-1}(\cos 2	heta) = 2	heta$ (क्योंकि $2	heta \in (0, \pi)$)। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^{	heta} [	heta^2 + 2	heta] d 	heta$। मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(	heta) = 	heta^2$ और $f'(	heta) = 2	heta$: $I = e^{	heta} 	heta^2 + c$। $	heta = 	an ^{-1} x$ वापस रखने पर: $I = e^{	an ^{-1} x} (	an ^{-1} x)^2 + c$।

$x > 0$ के लिए $\int \frac{e^{\tan ^{-1}(x)}}{1+x^2} \left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$ का मान है

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यदि $\int e^{\alpha x}\left(\frac{1-\beta \sin x}{1-\cos x}\right) d x=-e^x \cot \frac{x}{2}+c$ है, तो $\frac{\alpha^2+\beta^2}{2 \alpha \beta}=$

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