int e^{tan^{-1} x} left( frac{1+x+x^2}{1+x^2} | vedclass

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Question

(C) माना $u = 	an^{-1} x$ है। तब $x = 	an u$ और $dx = \sec^2 u \, du = (1+x^2) \, du$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int e^u

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$x \cdot e^{	an^{-1} x}$

Vedclass · Answer

(C) माना $u = 	an^{-1} x$ है। तब $x = 	an u$ और $dx = \sec^2 u \, du = (1+x^2) \, du$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int e^u \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} ight) (1+x^2) \, du = \int e^u (1+x+x^2) \, du$.चूंकि $x = 	an u$, इसलिए $1+x^2 = \sec^2 u$ है।अतः, $I = \int e^u (1 + 	an u + 	an^2 u) \, du = \int e^u (\sec^2 u + 	an u) \, du$.हम जानते हैं कि $\frac{d}{du}(	an u) = \sec^2 u$ होता है।मानक समाकलन सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) \, du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $f(u) = 	an u$ और $f'(u) = \sec^2 u$ है, हमें प्राप्त होता है:$I = e^u 	an u + C = e^{	an^{-1} x} \cdot x + C$.

$\int e^{\tan^{-1} x} \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} \right) dx = \rule{1cm}{0.15mm} + C$

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