જેના માટે ચાર બિંદુઓ $2i + 3j - k$,$i + 2j + 3k$,$3i + 4j - 2k$ અને $i - \lambda j + 6k$ સમતલીય હોય તેવી $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સદિશો $\vec{u} = (2+a+b) \hat{i}+(a+2 b+c) \hat{j}-(b+c) \hat{k}$,$\vec{v} = (1+b) \hat{i}+2 b \hat{j}-b \hat{k}$,અને $\vec{w} = (2+b) \hat{i}+2 b \hat{j}+(1-b) \hat{k}$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{R}$ સમતલીય છે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો સદિશો $2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}+\lambda \hat{j}+5 \hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\bar{c} = x\hat{i} + (x-1)\hat{j} - \hat{k}$ છે. જો સદિશ $\bar{c}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સમતલમાં હોય,તો $x=$

ધારો કે $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ અને $O$ એ ઉગમબિંદુ દર્શાવે છે. જો $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ હોય અને બિંદુ $(\alpha, \beta, 2)$ એ સમતલ $3x + 3y - z + l = 0$ પર આવેલું હોય,તો $l$ ની કિંમત શોધો.

જો $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4$ હોય,તો $\bar{a} + 2 \bar{b}, \bar{b} + 2 \bar{c}$ અને $\bar{c} + 2 \bar{a}$ ધારવાળા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ (ઘન એકમમાં) કેટલું થાય?