int_0^{1/2} frac{dx}{sqrt{1-x^{2n}}} का मान ( | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$.$x \in (0, 1/2)$ के लिए, हमारे पास $0  1$ के लिए

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{6}$ से कम या उसके बराबर

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$.$x \in (0, 1/2)$ के लिए, हमारे पास $0  1$ के लिए $x^{2n} यदि $n=1$ है, तो $I = \int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1} x]_0^{1/2} = \frac{\pi}{6}$.यदि $n > 1$ है, तो $x^{2n}  1 - x^2$.यह दर्शाता है कि $\sqrt{1 - x^{2n}} > \sqrt{1 - x^2}$.इसलिए, $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2n}}} दोनों पक्षों का $0$ से $1/2$ तक समाकलन करने पर:$I अतः, सभी $n \in N$ के लिए, $I \leq \frac{\pi}{6}$.

$\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$ का मान $(n \in N)$ है

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