int_{-pi}^{pi} frac{cos^2 x}{1 + a^x} dx, a | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx$. ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ને

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx$. ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ને $-\pi + \pi - x = -x$ વડે બદલીએ છીએ: $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2(-x)}{1 + a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + \frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{a^x + 1} dx$. $I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1 + a^x) \cos^2 x}{1 + a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx$. કારણ કે $\cos^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 + \cos 2x) dx$. $2I = [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi + 0) - (0 + 0) = \pi$. તેથી,$I = \frac{\pi}{2}$.

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx, a > 0$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx = $

$\int_{-2}^{2}(a x^{3}+b x+c) d x$ નું મૂલ્ય કોના પર આધાર રાખે છે?

જો $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{10} I_n$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx =$

ધારો કે $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ જ્યાં $x > 0$. તો $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module