જો I_n = int_{0}^{pi} frac{sin(nx)}{sin(x)} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) તફાવત $I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin(x)} dx$ ધ્યાનમાં લો. સૂત્ર $\sin(A) - \sin(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \s

Vedclass · Accepted Answer

$5\pi$

Vedclass · Answer

(B) તફાવત $I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin(x)} dx$ ધ્યાનમાં લો. સૂત્ર $\sin(A) - \sin(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin((n+2)x) - \sin(nx) = 2 \cos((n+1)x) \sin(x)$ મળે છે. તેથી,$I_{n+2} - I_n = \int_{0}^{\pi} 2 \cos((n+1)x) dx = [\frac{2 \sin((n+1)x)}{n+1}]_{0}^{\pi} = 0$. આનો અર્થ એ છે કે $I_n = I_{n+2}$. $n=1$ માટે,$I_1 = \int_{0}^{\pi} 1 dx = \pi$. $n=2$ માટે,$I_2 = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin(x)} dx = \int_{0}^{\pi} 2 \cos(x) dx = [2 \sin(x)]_{0}^{\pi} = 0$. જેમ કે $I_n = I_{n+2}$,બધા એકી પદો $I_1, I_3, \dots, I_9$ એ $\pi$ છે,અને બધા બેકી પદો $I_2, I_4, \dots, I_{10}$ એ $0$ છે. તેથી,$\sum_{n=1}^{10} I_n = (I_1 + I_3 + I_5 + I_7 + I_9) + (I_2 + I_4 + I_6 + I_8 + I_{10}) = 5(\pi) + 5(0) = 5\pi$.

જો $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} dx$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{10} I_n$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $n$ એ પૂર્ણાંક હોય,તો $S_{n+1} - S_n =$

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module