$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

$\int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $ . . . . . . .

ધારો કે $f:[-2, 3] \to [0, \infty)$ એક સતત વિધેય છે જેથી દરેક $x \in [-2, 3]$ માટે $f(1-x) = f(x)$ થાય. જો $R_1$ એ $y = f(x)$,$x = -2$,$x = 3$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ હોય અને $R_2 = \int_{-2}^3 x f(x) dx$ હોય,તો:

$\int\limits_0^{\pi / 2n} \frac{dx}{1 + \tan^n(nx)} = $

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $M=\int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx,$ $N=\int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx;$ $a \neq \frac{1}{2}.$ જો $\alpha M=\beta N,$ $\alpha, \beta \in N$ હોય,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $.....$ છે.

$\int_{-1}^{1} \sin^{5} x \cos^{4} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.