int_{-1}^{1} log(x + sqrt{x^2 + 1}) , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2})$ है।अब,$f(-x) = \log(-x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है।$(\sqrt{1 + x^2} + x)$ से गुणा औ

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(A) माना $f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2})$ है।अब,$f(-x) = \log(-x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है।$(\sqrt{1 + x^2} + x)$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f(-x) = \log\left(\frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x}\right)$$= \log\left(\frac{(1 + x^2) - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x}\right)$$= \log\left(\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x}\right)$$= \log(1) - \log(\sqrt{1 + x^2} + x) = -f(x)$ है।चूंकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{1 + x^2}) \, dx = 0$ है।

$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

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यदि $a > 0$ है, तो $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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