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Question

(A) माना कि दिया गया सीमा $L = \mathop {	ext{Limit}}\limits_{x 	o \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( \frac{\log _a x}{x^a} ight)}{{\sec ^{ - 1}}\

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$1$

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(A) माना कि दिया गया सीमा $L = \mathop {	ext{Limit}}\limits_{x 	o \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( \frac{\log _a x}{x^a} ight)}{{\sec ^{ - 1}}\left( \frac{a^x}{\log _a x} ight)}$ है।जैसे $x 	o \infty$,$\frac{\log _a x}{x^a} 	o 0$ होता है क्योंकि $a > 1$ के लिए घातांकीय वृद्धि लघुगणकीय वृद्धि से अधिक होती है।अतः,अंश $\cot ^{ - 1}(0) = \pi / 2$ की ओर अग्रसर होता है।जैसे $x 	o \infty$,$\frac{a^x}{\log _a x} 	o \infty$ होता है।अतः,हर $\sec ^{ - 1}(\infty) = \pi / 2$ की ओर अग्रसर होता है।इसलिए,$L = \frac{\pi / 2}{\pi / 2} = 1$.

$a > 1$ के लिए $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( {{x^{ - a}}\log _a x} \right)}{{\sec ^{ - 1}}\left( {{a^x}\log _x a} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} = $

मान लीजिए $t_{n}$ अनंत श्रेणी $\frac{1}{1 !} + \frac{10}{2 !} + \frac{21}{3 !} + \frac{34}{4 !} + \frac{49}{5 !} + \ldots$ के $n^{th}$ पद को दर्शाता है। तो $\lim _{n \rightarrow \infty} t_{n}$ क्या है?

$\lim_{n \to \infty} [\frac{1}{1 - n^2} + \frac{2}{1 - n^2} + \dots + \frac{n}{1 - n^2}]$ का मान है

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