sumlimits_{n = 2}^infty {frac{n}{{1 + {n^2}l | vedclass

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Question

(C) दिया गया व्यंजक $\sum\limits_{n = 2}^\infty  {\frac{n}{{1 + {n^4} - 2{n^2}}}} = \sum\limits_{n = 2}^\infty  {\frac{n}{{{{(n^2 - 1)}^2}}}} $ है।हम

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$\frac{5}{16}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया व्यंजक $\sum\limits_{n = 2}^\infty  {\frac{n}{{1 + {n^4} - 2{n^2}}}} = \sum\limits_{n = 2}^\infty  {\frac{n}{{{{(n^2 - 1)}^2}}}} $ है।हम पद को $\frac{n}{{{{(n-1)}^2}{(n+1)}^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{n}{{{{(n-1)}^2}{(n+1)}^2}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{{{{(n-1)}^2}}} - \frac{1}{{{{(n+1)}^2}}} \right)$।अब,योग $\frac{1}{4} \sum\limits_{n = 2}^\infty  {\left( {\frac{1}{{{{(n - 1)}^2}}} - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}} \right)}$ हो जाता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{{{1^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}} \right) + \left( \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{4^2}}} \right) + \left( \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}} \right) + \dots \right]$।$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{5}{4} \right) = \frac{5}{16}$।

$\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{n}{{1 + {n^2}\left( {{n^2} - 2} \right)}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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