$\sum\limits_{r = 1}^{19} {\frac{{{}^{20}{C_{r + 1}}{(-1)}^r}}{{{2^{2r + 1}}}}}$ का मान है

$2{C_0} + \frac{2^2}{2}{C_1} + \frac{2^3}{3}{C_2} + \dots + \frac{2^{11}}{11}{C_{10}} = \dots$

मान लीजिए $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}$,$T_1=\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ और $T_2=\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) = \phi$,जहाँ $\phi$ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है
$(C)$ $T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ किसी भी दिए गए $a, b \in Z$ के लिए,$\cos(\pi(a+b \sqrt{2})) + i \sin(\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि $b=0$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$

यदि $C_{j}$ का अर्थ ${ }^{n} C_{j}$ है,तो $\frac{C_0}{2} + \frac{C_1}{2 \cdot 2^2} + \frac{C_2}{3 \cdot 2^3} + \ldots + \frac{C_{n}}{(n+1) 2^{n+1}} = $

यदि $\frac{(1-px)^{-1}}{(1-qx)}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots$ है,तो $a_n=$

$\sum_{j=0}^{200} (1 + x)^j$ के विस्तार में $x^{100}$ का गुणांक क्या है?