2{C_0} + frac{2^2}{2}{C_1} + frac{2^3}{3}{C_2 | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार: $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} {C_r} x^r = {C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}$ है।दोनों पक्षों का

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$\frac{3^{11} - 1}{11}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार: $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} {C_r} x^r = {C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष $0$ से $2$ तक समाकलन करने पर:$\int_{0}^{2} (1 + x)^{10} dx = \int_{0}^{2} ({C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + \dots + {C_{10}}x^{10}) dx$।बाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:$\left[ \frac{(1 + x)^{11}}{11} \right]_{0}^{2} = \frac{(1 + 2)^{11}}{11} - \frac{(1 + 0)^{11}}{11} = \frac{3^{11} - 1}{11}$।दाएँ पक्ष का समाकलन करने पर:$\left[ {C_0}x + {C_1}\frac{x^2}{2} + {C_2}\frac{x^3}{3} + \dots + {C_{10}}\frac{x^{11}}{11} \right]_{0}^{2} = 2{C_0} + \frac{2^2}{2}{C_1} + \frac{2^3}{3}{C_2} + \dots + \frac{2^{11}}{11}{C_{10}}$।अतः,योगफल $\frac{3^{11} - 1}{11}$ है।

$2{C_0} + \frac{2^2}{2}{C_1} + \frac{2^3}{3}{C_2} + \dots + \frac{2^{11}}{11}{C_{10}} = \dots$

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