व्यंजक ${ }^{47} C_4 + \sum_{j=1}^5 { }^{52-j} C_3$ का मान है

$3$ लड़कियों और $4$ लड़कों के एक समूह में,दो लड़के $B_1$ और $B_2$ हैं। इन लड़कियों और लड़कों के एक कतार में खड़े होने के कुल कितने तरीके हैं ताकि सभी लड़कियाँ एक साथ हों,सभी लड़के एक साथ हों,लेकिन $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के बगल में न हों?

$n \geq 2$ के लिए,मान लीजिए कि $S_n$,$\{1, 2, \ldots, n\}$ के उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है जिनमें कोई भी दो अवयव क्रमागत नहीं हैं। उदाहरण के लिए,$\{1, 3, 5\} \in S_6$,लेकिन $\{1, 2, 4\} \notin S_6$। तो $n(S_5)$ का मान . . . . . . है।

$1, 2, 0, 2, 4, 2, 4$ अंकों का उपयोग करके $1000000$ से बड़ी कितनी सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

$FARMER$ शब्द के सभी विन्यास,अर्थ के साथ या बिना,लिखे जाते हैं,जिसमें उन शब्दों को छोड़कर जिनमें दो $R$ एक साथ आते हैं। इन विन्यासों को अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार वर्णानुक्रम में सूचीबद्ध किया गया है। तो इस सूची में $FARMER$ शब्द का क्रम संख्या .... है।

यदि $8 \cdot {}^{7}P_{r} = 7 \cdot {}^{8}P_{r-1}$ है,तो $r$ का मान क्या है?