समाकलन int_{-pi / 2}^{pi / 2}left(x^2+ln frac | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(x^2 + \ln \frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.हम इसे दो समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int

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$\frac{\pi^2}{2}-4$

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(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(x^2 + \ln \frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.हम इसे दो समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$.माना $f(x) = \ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x$. चूँकि $\ln \left(\frac{\pi+x}{\pi-x}\right)$ एक विषम फलन है और $\cos x$ एक सम फलन है,इसलिए उनका गुणनफल एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(x) \, dx = 0$.अब,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx$. चूँकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है,$I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x \, dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx = x^2 \sin x - 2 \left( -x \cos x + \int \cos x \, dx \right) = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x$.$0$ से $\pi / 2$ तक सीमाएँ रखने पर: $2 \left[ (x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x) \right]_0^{\pi / 2} = 2 \left[ ((\pi/2)^2 \cdot 1 + 0 - 2(1)) - (0 + 0 - 0) \right] = 2 \left( \frac{\pi^2}{4} - 2 \right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$.

समाकलन $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x^2+\ln \frac{\pi+x}{\pi-x}\right) \cos x \, dx$ का मान है

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