समाकलन int_{-pi/4}^{pi/4} sin^4 x , dx का मान | vedclass

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Question

(NONE) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ है। चूंकि $f(x) = \sin^4 x$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ होगा।
सर्

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$-1/2$

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(NONE) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ है। चूंकि $f(x) = \sin^4 x$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_0^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ होगा।
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^4 x = (\frac{1 - \cos 2x}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)$ प्राप्त होता है।
आगे,$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ है,इसलिए $\sin^4 x = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 4x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$।
इसका समाकलन करने पर,$I = 2 \int_0^{\pi/4} (\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x) \, dx = 2 [\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x]_0^{\pi/4}$।
सीमाओं का मान रखने पर: $I = 2 [(\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{32}\sin \pi) - (0)] = 2 [\frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4}] = \frac{3\pi}{16} - \frac{1}{2}$।

समाकलन $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^4 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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