फलन f(x) = begin{cases} x+a sqrt{2} sin x, & | vedclass

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Question

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x)

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$\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12}$

Vedclass · Answer

(D) चूंकि फलन $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए:$x = \frac{\pi}{4}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b)$$\frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 1 + b$$\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4}$ . . . $(i)$$x = \frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x)$$2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + b = a \cos \pi - b \sin \frac{\pi}{2}$$b = -a - b \implies a + 2b = 0$ . . . $(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:$(ii)$ से,$a = -2b$. इसे $(i)$ में रखने पर:$-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$.इस प्रकार,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = -\frac{\pi}{12}$ प्राप्त होते हैं।

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क्या $f(x) = |x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?

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