यदि फलन f(x) = begin{cases} -2sin x, & x le - | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x)$ के हर जगह सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होना चाहिए।$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x 	o -\f

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$A = -1, B = 1$

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(C) फलन $f(x)$ के हर जगह सतत होने के लिए,इसे $x = -\frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{\pi}{2}$ पर भी सतत होना चाहिए।$x = -\frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x 	o -\frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o -\frac{\pi}{2}^-} (-2\sin x) = -2\sin(-\frac{\pi}{2}) = -2(-1) = 2$.$\lim_{x 	o -\frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x 	o -\frac{\pi}{2}^+} (A\sin x + B) = A\sin(-\frac{\pi}{2}) + B = -A + B$.चूंकि फलन सतत है,$-A + B = 2$ ..... $(i)$.$x = \frac{\pi}{2}$ पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^-} (A\sin x + B) = A\sin(\frac{\pi}{2}) + B = A + B$.$\lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{2}^+} (\cos x) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.चूंकि फलन सतत है,$A + B = 0$ ..... $(ii)$.समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$(-A + B) + (A + B) = 2 + 0 \implies 2B = 2 \implies B = 1$.$B = 1$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:$A + 1 = 0 \implies A = -1$.अतः,$A = -1$ और $B = 1$ प्राप्त होते हैं।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -2\sin x, & x \le -\frac{\pi}{2} \\ A\sin x + B, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$ हर जगह सतत है,तो $A$ और $B$ के मान ज्ञात कीजिए।

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सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{8^x - 4^x - 2^x + 1}{x^2} & , \text{यदि } x > 0 \\ e^x \sin x + kx + \lambda \log 4 & , \text{यदि } x \le 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $500 e^\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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