सदिश $c \cdot (b+c) \times (a+b+c)$ किसके बराबर है?

यदि $(2,3,9), (5,2,1), (1, \lambda, 8)$ और $(\lambda, 2,3)$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल है।

यदि $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$, $b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है, तो $a+b$, $b+c$, $c+a$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ कोई भी तीन समतलीय इकाई सदिश हैं,तो

किसी भी शून्येतर सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के लिए,$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ का मान क्या है?

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन शून्येतर असमतलीय सदिश हैं। चार बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$,$\lambda \vec{a}-3 \vec{b}+4 \vec{c}$,$-\vec{a}+2 \vec{b}-3 \vec{c}$ और $2 \vec{a}-4 \vec{b}+6 \vec{c}$ हैं। यदि $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए: