જેના કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે તેવી રેખાનું સદિશ સમીકરણ શું છે?

ધારો કે રેખા $L_{1}$ એ સદિશ $-3\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}$ ને સમાંતર છે અને બિંદુ $(2, 6, 7)$ માંથી પસાર થાય છે, અને રેખા $L_{2}$ એ સદિશ $2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ ને સમાંતર છે અને બિંદુ $(4, 3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. જો રેખા $L_{3}$ એ સદિશ $-3\hat{i}+5\hat{j}+16\hat{k}$ ને સમાંતર હોય અને રેખાઓ $L_{1}$ અને $L_{2}$ ને અનુક્રમે $C$ અને $D$ બિંદુઓમાં છેદતી હોય, તો $|\overrightarrow{CD}|^2$ ની કિંમત શોધો:

રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

ધારો કે $Q$ એ ઘન છે જેના શિરોબિંદુઓનો ગણ $\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: x_1, x_2, x_3 \in \{0,1\}\}$ છે. ધારો કે $F$ એ ઘન $Q$ ની છ બાજુઓના વિકર્ણો ધરાવતી તમામ બાર રેખાઓનો ગણ છે. ધારો કે $S$ એ ઘન $Q$ ના મુખ્ય વિકર્ણો ધરાવતી તમામ ચાર રેખાઓનો ગણ છે; ઉદાહરણ તરીકે,$(0,0,0)$ અને $(1,1,1)$ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $S$ માં છે. રેખાઓ $\ell_1$ અને $\ell_2$ માટે,ધારો કે $d(\ell_1, \ell_2)$ તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે. તો જ્યારે $\ell_1$ એ $F$ પર અને $\ell_2$ એ $S$ પર બદલાય ત્યારે $d(\ell_1, \ell_2)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું હશે?

જો રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-\lambda}{2}=\frac{z}{1}$ એકબીજાને છેદે,તો $\lambda = \ldots$

ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ એ રેખા $\frac{x}{1}=\frac{1-y}{-2}=\frac{z-2}{3}$ પર આવેલા છે. $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(1, 6, 3)$ અને $(4, 9, \alpha)$ છે અને $C$ એ $B$ થી $10$ એકમ અંતરે છે. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો: