समतलों x+y+z=1 और 2x+3y+4z=5 के प्रतिच्छेदन र | vedclass

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Question

(D) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$ है। पदों को व्यवस्थित

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$\overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{k})+2=0$

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(D) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है। यह समतल,समतल $x-y+z=0$ के लंबवत है। इन दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं। चूंकि समतल लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$. $1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$. $1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$. $\lambda = -\frac{1}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर: $(1 - \frac{2}{3})x + (1 - 1)y + (1 - \frac{4}{3})z - (1 - \frac{5}{3}) = 0$. $\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$. $3$ से गुणा करने पर,$x - z + 2 = 0$ प्राप्त होता है। इसका सदिश समीकरण $\overline{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ है।

समतलों $x+y+z=1$ और $2x+3y+4z=5$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और समतल $x-y+z=0$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण है

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यदि रेखाओं $\frac{x - 1}{\alpha} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}, (\alpha \ne -1)$ और $x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो $\alpha$ का मान है

मान लीजिए $d$ समतल $-x + y + z = 1$ पर बिंदुओं $P(1, 2, -1)$ और $Q(2, -1, 3)$ के लंबपादों के बीच की दूरी है। तो $d^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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