एक प्रश्न पत्र में $3$ खंड हैं और प्रत्येक खंड में $5$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार को कुल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न चुनना है। तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

एक प्रश्न पत्र में तीन खंड हैं,प्रत्येक खंड में $4$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को इस प्रश्न पत्र से कुल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं और प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न का उत्तर देना अनिवार्य है,तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ अक्षरों का उपयोग करके $10$ लंबाई के शब्द बनाए जाते हैं। मान लीजिए $x$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता है और $y$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें ठीक दो अक्षर दो बार दोहराए जाते हैं और कोई अन्य अक्षर दोहराया नहीं जाता है,तो $\frac{y}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$4$ अलग-अलग वस्तुओं को $6$ व्यक्तियों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि किसी भी व्यक्ति को सभी वस्तुएं न मिलें।

यदि $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} \right) = K\left( {^{50}C_{25}} \right)}$,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${ }^{1} P_{1}+2 \cdot{ }^{2} P_{2}+3 \cdot{ }^{3} P_{3}+\ldots+15 \cdot{ }^{15} P_{15}={ }^{q} P_{r}-s$,जहाँ $0 \leq s \leq 1$,तो ${ }^{q+s} C_{r-s}$ का मान .... है।