एक समूह में $12$ सदस्य हैं। $6$ सदस्यों की एक टीम को कितनी तरह से चुना जा सकता है कि एक विशेष सदस्य हमेशा शामिल रहे?

$16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक क्रिकेट टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है,यदि $2$ विशेष खिलाड़ियों को हमेशा शामिल किया जाना है?

$5$ लड़कों और $3$ लड़कियों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों?

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ अंकों का उपयोग करके $10$ और $1000$ के बीच कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? (पुनरावृत्ति की अनुमति है)

$\text{$0$ और $1$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली नौ-अंकीय सम प्राकृतिक संख्याएँ, जिनमें कोई भी दो क्रमागत अंक $0$ न हों, उनकी संख्या कितनी है?}$